PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
NGHI LỘC


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 90 phút - không kể thời gian phát đề


(ĐỀ CHÍNH THỨC)
Câu 1 (6,0 điểm). Cho biểu thức

Tìm điều kiện xác định và rút gọn P
Tìm x để

Xác định các giá trị dương của x để biểu thức
nhận giá trị nguyên
Câu 2 (4,0 điểm). Cho phương trình sau (ẩn x):

a) Xác định m để phương trình có 1 nghiệm

b) Với giá trị m vừa tìm được. Tìm các nghiệm còn lại của phương trình.
Câu 3 (4,0 điểm). a) Chứng minh rằng không tồn tại 3 số dương a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn:

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

là số chính phương.
Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, điểm D di động trên tia đối của tia BA sao cho
, nối C với D, vẽ tia Ax nằm trong góc BAC, sao cho
, gọi M là giao điểm của tia Ax và CD
a) Chứng minh:

b) Chứng minh:

c) Gọi Q là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng khi D di động trên tia đối của tia BA sao cho
thì DQ luôn đi qua một điểm cố định.


.…………Hết…………



Họ và tên thí sinh:………………………………. Số báo danh:.........................................


\



Câu
Ý
Nội dung
Điểm

 1
a


ĐK:

1,0






1,0





Vậy

1,0


b
Ta tìm x thỏa mãn

1,0




. Đối chiếu điều kiện, ta chỉ lấy

1,0


c


Với

0,25



Mặt khác
. Do
nên
hay

0,25



Từ (1) và (2) ta suy ra
để M nguyên ta lấy M = 1
0,25



Khi M = 1 thì


. Vậy khi
thì
nguyên
0,25

 2
a
Ta thay
vào phương trình:


1,0




hay
. Vậy khi
thì phương trình có 1 nghiệm

1,0


b
Với
, thay vào phương trình ta được

1





0,5



Với
thay vào phương trình ta được

giống như trường hợp trên ta thu được các nghiệm là

0,5

3
a
Theo bài ra ta có:

0,5




, tương tự ta cũng có:
0,5





0,5



cộng vế với vế ta được:

nếu
thì
. Do đó không tồn tại 3 số dương a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (*)
0,5


b
Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

là số chính phương.
Ta có



1,0



Đặt:
. Vậy




0,5




nên

Vậy A là số chính phương.

0,5

4
a
vẽ hình đúng cho 0,5


Xét
DBC và
DMA có
(giả thiết), góc D chung, suy ra

DBC đồng dạng với
DMA (g.g)

0,5




2,5


b
Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = CM, xét
ANB và
CMB có AN = CM (do ta chọn điểm N),
, AB = BC (cạnh của tam giác đều ABC)
(c.g.c)
và
từ đó suy ra tam giác BMN cân tại B
1,0



Ta lại có
hay
suy ra tam giác BMN là tam giác đều, suy ra MN = MB
AM = AN + NM =MC + MB
0,5



Áp dụng bất đẳng thức
(với



. Dấu bằng xảy ra khi MB = MC khi đó Ax là tia phân giác của góc A
0,5


c
tam giác MBN đều
mặt khác
hay
từ đó suy ra

0,25



xét tam giác